Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AC上的一個動點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；
（3）點(diǎn)G拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，解得x1=﹣1或x2=3

∴A（﹣1，0）B（3，0）

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3

∴C（2，﹣3）

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1

（2）

解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2）

則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1）

E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當(dāng) 時，PE的最大值=

（3）

解：存在4個這樣的點(diǎn)F，分別是F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+ ，0），F(xiàn)4（4﹣ ，0）．

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+ ，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+4+ ．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+ ，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4﹣ ，0）．

綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點(diǎn)

【解析】（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點(diǎn)在拋物線上，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可解出AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)P點(diǎn)在AC上可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．E點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點(diǎn)之間的距離為yp﹣yE ， 列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）存在四個這樣的點(diǎn)．
①連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，0）；
②AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
③此時C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+ ，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+ ，0）；
④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4﹣ ，0）；
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點(diǎn)．