Question

3．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠DAB=∠B，點(diǎn)E在邊AC上，滿(mǎn)足AE•CD=AD•CE．
（1）求證：DE∥AB；
（2）如果點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，聯(lián)結(jié)AF．求證：DF=AF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）由BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，得到BD²=DF•AB，等量代換得到AD²=DF•AB，推出$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AE•CD=AD•CE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，
∴BD²=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD²=DF•AB，
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，
∴DF=AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．