Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；

（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當(dāng)點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；

（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）點P（，）時，S四邊形APCD最大=；（3）當(dāng)M點的坐標(biāo)為（1，8）時，N點坐標(biāo)為（2，13），當(dāng)M點的坐標(biāo)為（3，8）時，N點坐標(biāo)為（2，3）．

【解析】

試題（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標(biāo)（x，﹣x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=﹣2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；（3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點的橫坐標(biāo)，從而求出點M，N的坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a+9，∵拋物線與y軸交于點A（0，5）， ∴4a+9=5，

∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5，

（2）當(dāng)y=0時，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；設(shè)P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），

∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四邊形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x，

∴當(dāng)x=時， ∴S四邊形APCD最大=，

（3）如圖，

過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，

∴M點的橫坐標(biāo)為x=3或x=1，當(dāng)x=1時，M點縱坐標(biāo)為8，當(dāng)x=3時，M點縱坐標(biāo)為8，

∴M點的坐標(biāo)為M（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直線AE解析式為y=5x+5，

∵MN∥AE，∴MN的解析式為y=5x+b，∵點N在拋物線對稱軸x=2上，∴N（2，10+b），

∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2

∵M點的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8）， ∴點M1，M2關(guān)于拋物線對稱軸x=2對稱，

∵點N在拋物線對稱軸上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，

∴10+b=13或10+b=3 ∴當(dāng)M點的坐標(biāo)為（1，8）時，N點坐標(biāo)為（2，13），

當(dāng)M點的坐標(biāo)為（3，8）時，N點坐標(biāo)為（2，3），