已知:拋物線與x軸交于A(-2,0)、B(4,0),與y軸交于C(0,4).
(1)求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn).試探究:拋物線向上最多可以平移多少個(gè)單位長度,向下最多可以平移多少個(gè)單位長度?
分析:(1)先設(shè)出過A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出a的值,進(jìn)而得出此拋物線的解析式;
(2)先用待定系數(shù)法求出直線CD解析式,再根據(jù)拋物線平移的法則得到(1)中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式,再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立,根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)即可求出m的取值范圍,進(jìn)而可得到拋物線向下最多可平移多少個(gè)單位;同理可求出拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位.
解答:解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4),
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
∴a=-
1
2
,(1分)
∴解析式為y=-
1
2
x2+x+4,
頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,
9
2
);(2分)

(2)直線CD解析式為y=kx+b.
則,
b=4
k+b=
9
2

b=4
k=
1
2
,
∴直線CD解析式為y=
1
2
x+4,(3分)
∴E(-8,0),F(xiàn)(4,6),
若拋物線向下移m個(gè)單位,其解析式y(tǒng)=-
1
2
x2+x+4-m(m>0),
y=-
1
2
x2+x+4-m
y=
1
2
x+4
消去y,得-
1
2
x2+
1
2
x-m=0,
∵△=
1
4
-2m≥0,
∴0<m≤
1
8
,
∴向下最多可平移
1
8
個(gè)單位.(5分)
若拋物線向上移m個(gè)單位,其解析式y(tǒng)=-
1
2
x2+x+4+m(m>0),
方法一:當(dāng)x=-8時(shí),y=-36+m,
當(dāng)x=4時(shí),y=m,
要使拋物線與EF有公共點(diǎn),則-36+m≤0或m≤6,
∴0<m≤36;(7分)
方法二:當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)E(-8,0)時(shí),解得m=36,
當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)F(4,6)時(shí),m=6,
由題意知:拋物線向上最多可以平移36個(gè)單位長度,(7分)
綜上,要使拋物線與EF有公共點(diǎn),向上最多可平移36個(gè)單位,向下最多可平移
1
8
個(gè)單位.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,已知該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為C,
(1)根據(jù)圖象所給信息,求出拋物線的解析式;
(2)求直線BC與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是直線BC上的一點(diǎn),且△APB與△DOB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),拋物線頂點(diǎn)為M,連接AC并延長AC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q到x軸的距離為6.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)在拋物線上找一點(diǎn)D,使得DC與AC垂直,求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:期末題 題型:解答題

如圖1,已知:拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線是,連結(jié)AC.
(1)寫出B,C兩點(diǎn)坐標(biāo),并求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點(diǎn)D,E,F(xiàn),G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
[拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是]

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于
點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2
【小題1】求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用a表示);
【小題2】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,求△ABC的面積;
【小題3】若a是整數(shù),P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合),
在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN,記線段MN的中點(diǎn)為Q,求拋物線的
解析式及線段PQ的長的取值范圍.

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