Question

【題目】點(diǎn)P(t，0)是x軸上的動點(diǎn)，Q(0，2t)是y軸上的動點(diǎn)．若線段PQ與函數(shù)y=﹣|x|2+2|x|+3的圖象只有一個公共點(diǎn)，則t的取值是_____________．

Answer 1

【答案】≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3

【解析】函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3的解析式可化為：

y=

設(shè)線段PQ所在的直線的解析式為：y=kx+b，

將P（t，0）、Q（0，2t）代入得： ，解得： ，

∴線段PQ所在的直線的解析式為：y=-2x+2t；

①當(dāng)線段PQ過（0，3）時，即點(diǎn)Q與C重合，如圖1，

2t=3，t=，

∴當(dāng)t=時，線段PQ與函數(shù)y=只有一個公共點(diǎn)；

當(dāng)線段PQ過（3，0）時，即點(diǎn)P與A（3，0）重合，如圖2，

t=3，

此時線線段PQ與函數(shù)y=有兩個公共點(diǎn)，

∴當(dāng)≤t＜3時，線段PQ與函數(shù)y=只有一個公共點(diǎn)；

②將y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3（x≥0）中得，

-x2+2x+3=-2x+2t，

-x2+4x+3-2t=0，

△=16-4×（-1）×（3-2t）=28-8t=0，

t=，

∴當(dāng)t=時，線段PQ與函數(shù)y=也只有一個公共點(diǎn)；

③當(dāng)線段PQ過B（-3，0），如圖3，即P與B（-3，0）重合，線段PQ只與y=-x2-2x+3（x＜0）有一個公共點(diǎn)，此時t=-3，

∴當(dāng)t≤-3時，線段PQ與函數(shù)y=也只有一個公共點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)線段PQ與函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3只有一個公共點(diǎn)時，t的取值是≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3，

故答案為： ≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3.