Question

（1）如圖1，拋物線C₁：y=ax²+bx+c的開口向下，頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，若△ABD的面積為8．
①求拋物線C₁的解析式；
②Q是拋物線C₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QBC的內(nèi)心落在x軸上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將（1）中的拋物線C₁向右平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C₂，頂點(diǎn)為E，拋物線C₁、C₂相交于P點(diǎn)，設(shè)△PDE的面積為S，判斷

S

t3

是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①由拋物線C₁經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，即可采用兩點(diǎn)法設(shè)拋物線C₁的解析式為y=a（x+1）（x+3），又由AB=4，S_△ABD=8，即可求得a的值，求得拋物線C₁的解析式；
②首先由OC=OB=3，∠BOC=90°，求得∠OBC的度數(shù)，然后過(guò)B作∠ABQ=45°交x軸于M，交拋物線C₁于Q點(diǎn)，即可求得直線BQ的解析式，然后借助于方程即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）首先過(guò)P作PN∥x軸與拋物線C₁另一交點(diǎn)記為N，連接DN，過(guò)P作直線PH⊥DE于H，由平移，易證得△PDE是等腰三角形，然后由點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，求得H與P的坐標(biāo)，則問題得解．

解答：解：（1）①∵拋物線C₁經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴y=a（x+1）（x+3）=a（x-1）²-4a，（1分）
∴D（1，-4a），
∵AB=4，S_△ABD=8，
∴-4a=4，
∴a=-1，（2分）
所以拋物線C₁為：y=-x²+2x+3，（3分）
②點(diǎn)C（0，3），
∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
過(guò)B作∠ABQ=45°交y軸于M，交拋物線C₁于Q點(diǎn)，
則△QBC的內(nèi)心落在x軸上，（4分）．
如圖1：M（0，-3），直線BQ為：y=x-3，（5分）
設(shè)Q（n，-n²+2n+3），則-n²+2n+3=n-3，（6分）
解得：n₁=-2，n₂=3，（不合題意舍去）
所以Q（-2，-5）；（7分）


（2）過(guò)P作PN∥x軸與拋物線C₁另一交點(diǎn)記為N，連接DN，過(guò)P作直線PH⊥DE于H，
如圖2：由平移得：DN與PE平行且相等
由拋物線的對(duì)稱性得：PD=DN，
∴PD=DE，△PDE是等腰三角形（8分）
∴點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，
∴H（

1

2

t+1，4），（9分）
當(dāng)x=

1

2

t+1時(shí)，y=-

1

4

t²+4，
∴P（

1

2

t+1，-

1

4

t²+4），（10分）
∴PH=4-（-

1

4

t²+4）=

1

4

t²，（11分）
又∵DE=t，
∴

S

t3

=

1 2 × 1 4 t2•t

t3

=

1

8

為定值．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．