Question

8．如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線，稱這個(gè)三角形為特異三角形．
（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AE是△ABC的一條特異線．
（2）如圖2，已知△ABC是特異三角形，且∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)．
（3）如圖3，△ABC是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數(shù)為整數(shù)，請(qǐng)求出其特異線的長(zhǎng)度；若它的頂角度數(shù)不是整數(shù)，請(qǐng)直接寫出頂角度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（2）如圖2中，當(dāng)BD是特異線時(shí)，分三種情形討論，如圖3中，當(dāng)AD是特異線時(shí)，AB=BD，AD=DC根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可解決問題，當(dāng)CD為特異線時(shí)，不合題意．
（3）如圖3中，當(dāng)BD是特異線時(shí)，分兩種情形討論即可．當(dāng)AD是特異線時(shí)，不合題意．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一條特異線．
（2）如圖2中，

當(dāng)BD是特異線時(shí)，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，
如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=DB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．
如圖3中，當(dāng)AD是特異線時(shí)，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°-20°-20°=140°

當(dāng)CD為特異線時(shí)，不合題意．
∴符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°．
（3）如圖3中，

當(dāng)BD是特異線時(shí)，有兩種情形，如果AD=BD=BC，設(shè)∠A=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，
設(shè)AD=BD=BC=a，
由△BCD∽△ABC得到$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{2-a}{a}$，
∴a²+2a-4=0，
∴a=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$（舍棄）．
如果AD=BC，BC=CD，設(shè)∠A=x，則2x+2x+3x=180°解得x=（$\frac{180}{7}$）°．
當(dāng)AD是特異線時(shí)，如果DA=DB，CA=CD，設(shè)∠B=∠C=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠BAC=108°，不符合題意．
∴△ABC是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數(shù)為整數(shù)，其特異線的長(zhǎng)度為-1+$\sqrt{5}$，
若它的頂角度數(shù)不是整數(shù)，則頂角度數(shù)為（$\frac{180}{7}$）°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題，等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)畫出圖形，借助于圖形解決問題，學(xué)會(huì)利用方程去思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目．