Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)，且AB=2時(shí)，求△ABC的面積；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC是等邊三角形和AB=2，求出△ABC的面積；

（2）作EG∥BC交AB于G，證明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；

（3）作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H，證明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點(diǎn)，

∴BE⊥AC，AE=AB=1，

∴BE=，

∴△ABC的面積=×AC×BE=；

（2）如圖2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AGE是等邊三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF；

（3）成立，

如圖3，作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AHE是等邊三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF．