Question

已知：如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）.

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）寫出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）.問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4.5）

（3）Q（1,0） （4）存在，或或或

【解析】

試題分析：（1）由題意，得 

解得 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為：．

（2）對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4.5）

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

由，得，．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，．

，．，

即．．

．

又，

當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)．

（4）存在

在中．

（�。┤�，，．

又在中，，．．

．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由，得，．

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．

（ⅱ）若，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

由等腰三角形的性質(zhì)得：，，

在等腰直角中，．．

由，得，．

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．（ⅲ）若，，且，

點(diǎn)到的距離為，而，

此時(shí)，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．

所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

考點(diǎn)：函數(shù)圖象、函數(shù)解析式與幾何的結(jié)合

點(diǎn)評(píng)：此類題目作為試卷的壓軸題，難度一般不小，一般來說，第一第二問比較容易，而通過求出函數(shù)的解析式，進(jìn)行接下來一系列的解答