Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)其頂點(diǎn)C作直線CP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC.

（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值為.（3）當(dāng)a=時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓.

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸相交，則y=0，得出A（a，0），B（3，0），與y軸相交，則x=0，得出D（0，3a）.

（2）根據(jù)（1）中A、B、D的坐標(biāo)，得出拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=，AO=a，OD=3a，代入求得頂點(diǎn)C（，-），從而得PB=3- =，PC=；再分情況討論：①當(dāng)△AOD∽△BPC時(shí)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得，解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得 ，解得：a1=3（舍），a2=；

（3）能；連接BD，取BD中點(diǎn)M，根據(jù)已知得D、B、O在以BD為直徑，M（，a）為圓心的圓上，若點(diǎn)C也在此圓上，則MC=MB，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得一個(gè)關(guān)于a的方程，解之即可得出答案.

（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

∴A（a，0），B（3，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，

∴D（0，3a）；

（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴對(duì)稱(chēng)軸x=，AO=a，OD=3a，

當(dāng)x= 時(shí)，y=- ，

∴C（，-），

∴PB=3-=，PC=，

①當(dāng)△AOD∽△BPC時(shí)，

∴，

即 ，

解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，

∴，

即 ，

解得：a1=3（舍），a2= .

綜上所述：a的值為；

（3）能；連接BD，取BD中點(diǎn)M，

∵D、B、O三點(diǎn)共圓，且BD為直徑，圓心為M（，a），

若點(diǎn)C也在此圓上，

∴MC=MB，

∴ ，

化簡(jiǎn)得：a4-14a2+45=0，

∴（a2-5）（a2-9）=0，

∴a2=5或a2=9，

∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），

∵0<a<3，

∴a=，

∴當(dāng)a=時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓.