Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連結(jié)AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

(1)、略；(2)、6.

【解析】

試題分析：(1)、連接OA，OD，根據(jù)D為中點可得∠BOD=∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，根據(jù)AC=FC得到∠FAC=∠AFC=∠OFD，根據(jù)OA=OD可得∠OAF=∠D，從而說明∠OAC=90°，得到切線；(2)、設OD=r，則OF=8－r，根據(jù)Rt△DOF的勾股定理求出r的值，然后根據(jù)OF的長度進行驗根.

試題解析：（1）連結(jié)OA、OD，∵D為下半圓BE的中點，

∴∠BOD=∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA為半徑，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=8﹣r，

又∵在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2,∴，解得，，，

當時，OF=（符合題意）， 當時，OF=（不合題意，舍去），

∴⊙O的半徑r為6

考點：切線的判定、勾股定理.