Question

下圖是行列間隔都為1個(gè)單位的點(diǎn)陣：
①你能計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積嗎？請將答案直接填入圖中橫線上．

②若用a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積，你能用含a和b的代數(shù)式表示S=

 

；
③請你利用②中的公式來求a=4，b=20時(shí)，多邊形的面積S．

Answer 1

分析：（1）分別計(jì)算出各個(gè)多邊形的面積，通過歸納分析可以發(fā)現(xiàn)：多邊形的面積等于多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)加上

1

2

與多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)的乘積然后減去1．
（2）按照（1）中總結(jié)的規(guī)律，將表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)a，表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)b，表示多邊形的面積S代入即可得到答案．
（3）將a=4，b=20代入s=a+

1

2

b-1中，即可直接球的多邊形的面積．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)陣中行列間隔都為1個(gè)單位，
所以，第一個(gè)多邊形的面積為1=0+

1

2

×4-1；
第二個(gè)多邊形的面積為1=0+

1

2

×4-1；
第三個(gè)多邊形的面積為

3

2

=0+

1

2

×5-1；
第四個(gè)多邊形的面積為2=0+

1

2

×6-1；
第五個(gè)多邊形的面積為2=0+

1

2

×6-1；
第六個(gè)多邊形的面積為2=1+

1

2

×4-1；
第七個(gè)多邊形的面積為

5

2

=1+

1

2

×5-1；
第三個(gè)多邊形的面積為

7

2

=2+

1

2

×5-1；
通過計(jì)算，并對上述結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)：
等號左邊的數(shù)為多邊形的面積，等號右邊的第一個(gè)數(shù)是多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，第二個(gè)和第四個(gè)數(shù)都是常數(shù)，
第三個(gè)數(shù)是多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)．
所以說多邊形的面積等于多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)加上

1

2

與多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)的乘積然后減去1．


（2）若用a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積，
按照（1）中總結(jié)的規(guī)律，則有：s=a+

1

2

b-1．

（3）當(dāng)a=4，b=20時(shí)，a+

1

2

b-1=4+10-1=13•

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對圖形變化類這個(gè)知識點(diǎn)的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，數(shù)值等條件，認(rèn)真分析，找到規(guī)律．此類題目難度一般偏大，屬于難題．