Question

【題目】如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．

（1）求證：AE=BF；

（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠EBF=．

【解析】（1）通過證明△ABF≌△DAE得到BF=AE；

（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到xx+x2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計算出BE，最后利用正弦的定義求解．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA=AD，∠BAD=90°，

∵DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，

∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，

∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ABF=∠EAD，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF=AE；

（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，

∵四邊形ABED的面積為24，

∴xx+x2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），

∴EF=x﹣2=4，

在Rt△BEF中，BE==2，

∴sin∠EBF=．