Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)C在半徑OA上（點(diǎn)C與點(diǎn)O、A不重合），過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)B作OD的平行線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E、交射線(xiàn)CD于點(diǎn)F．

（1）若ED＝BE，求∠F的度數(shù)：

（2）設(shè)線(xiàn)段OC＝a，求線(xiàn)段BE和EF的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）30°；（2）EF=；（3）CO的長(zhǎng)為或時(shí)，△PEB為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出即可；

（2）首先證明△HBO≌△COD（AAS），進(jìn)而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的長(zhǎng)；

（3）分別利用①當(dāng)PB=PE，不合題意舍去；②當(dāng)BE=EP，③當(dāng)BE=BP，求出即可．

試題解析：（1）如圖1，連接EO，

∵

∴∠BOE=∠EOD，

∵DO∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵BO=EO，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如圖1，作HO⊥BE，垂足為H，

∵在△HBO和△COD中

，

∴△HBO≌△COD（AAS），

∴CO=BH=a，

∴BE=2a，

∵DO∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴

∴，

∴EF=；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，

∴∠COD=∠DOE，

∴C關(guān)于直線(xiàn)OD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P在線(xiàn)段OE上，

若△PEB為等腰三角形，設(shè)CO=x，∴OP=OC=x，則PE=EO-OP=4-x，

由（2）得：BE=2x，

①當(dāng)PB=PE，不合題意舍去；

②當(dāng)BE=EP，2x=4-x，解得：x=，

③當(dāng)BE=BP，作BM⊥EO，垂足為M，

∴EM=PE=，

∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，

∴△BEM∽△DOC，

∴，

∴，

整理得：x2+x-4=0，

解得：x=（負(fù)數(shù)舍去），

綜上所述：當(dāng)CO的長(zhǎng)為或時(shí)，△PEB為等腰三角形．

考點(diǎn)：圓的綜合題．