Question

已知，如圖在正方形OADC中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交雙曲線(xiàn)y=

32

x

于點(diǎn)B．
（1）求直線(xiàn)AB的解析式；

（2）G為x軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)連接CG，過(guò)G作GE⊥CG交直線(xiàn)AB于E．求證CG=GE；
（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，當(dāng)G在x的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)問(wèn)

OG+GF

DF

的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）欲求直線(xiàn)AB的解析式，須知點(diǎn)A B坐標(biāo)，已知A坐標(biāo)，只求B坐標(biāo)．由于BC∥X軸可以得到點(diǎn)B縱坐標(biāo)為4，代入y=

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x

中可求出點(diǎn)B橫坐標(biāo)；
（2）欲證CG=GE，利用原圖無(wú)法證出，須作輔助線(xiàn)構(gòu)建三角形全等，因此在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)F，使得OF=OG，連接GF可證△CGF≌△AGE，即解．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），BC∥X軸，
∴點(diǎn)B縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=4時(shí)，x=

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4

=8，
根據(jù)題意得

4k+b=0 8k+b=4

，
∴k=1，b=-4，
∴y=x-4；

（2）在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)F，使得OF=OG，連接GF，
∵CO=AO，
∴CF=AG，
∵GE⊥CG，∠GOC=90°，
∴∠GCO=∠AGE
而∠GAE=∠GFO=45°，
∴△CGF≌△AGE，
∴CG=GE；

（3）答：是定值為1．
證明：在DF上取一點(diǎn)N，使得DN=OG，連接CN，
∵CO=CD，DN=GO，∠COG=∠CDN=90°，
∴△CGO≌△CND，
∴CN=CG，∠GCO=∠DCN，
又∠OCN+∠DCN=90°，
∴∠GCN=∠GCO+∠OCN=∠DCN+∠OCN=90°，
∵GC=GE，∠CGE=90°，
∴∠GCF=45°，又∠GCN=90°，
∴∠GCF=∠NCF=45°，而CF公共，
∴△CGF≌△CNF，則GF=NF，
則

GF+OG

DF

=

NF+DN

DF

=

DF

DF

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，主要考查一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)和判定．