【題目】如圖,平行四邊形

1)如圖,點延長線上,,求證:點中點.

2)如圖,點中點,延長線上一點,且,求證:

3)在(2)的條件下,若的延長線與交于點,試判斷四邊形是否為平行四邊形?并證明你的結(jié)論(先補全圖形再解答).

【答案】1)見詳解;(2)見詳解;(3)四邊形ACPE是平行四邊形,補圖與證明見詳解.

【解析】

1)先由平行四邊形ABCD可得AD∥BC,ADBC,再證四邊形BDEC為平行四邊形可得BCDE,再等量代換即可得證;

2)連接CE,根據(jù)三線合一可證得∠AEC90°,結(jié)合∠DEF90°,可得∠AED=∠CEF,根據(jù)∠ACB90°EAB中點可得CEAE,再結(jié)合∠DAE=∠ECF135°即可證得△DAE≌△ECF進而得證;

3)四邊形ACPE是平行四邊形,理由如下:先證得∠CEB=∠EBP=∠ECP90°可得矩形BECP,進而得CPBE等量代換得AECP,再結(jié)合AECP即可得證.

證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,

AD∥BC,ADBC

AD∥BC,CEBD,

∴四邊形BDEC為平行四邊形,

BCDE

又∵ADBC,

AD DE,

∴點DAE中點.

2)如圖,連接CE

AD⊥AC,AD∥BC

∠ACB∠DAC90°,

ADBCADAC,

BCAC,

BCAC,點EAB中點,

CE⊥AB

∠AEC∠BEC90°,

∠AED∠DEC90°,

EDEF,

∠CEF∠DEC∠DEF90°,

∠CEF∠AED

∠ACB90°,BCAC,

∠CAB∠CBA45°

∠DAE∠DAC∠CAB135°,

∠ACB90°,點EAB中點,

CEAEAB

∠ACE∠CAB45°,

∠FCE180°∠ACE135°,

∠FCE∠DAE,

在△DAE和△FCE中,

,

∴△DAE≌△FCEASA),

DEEF

3)如圖,

四邊形ACPE是平行四邊形,理由如下:

∵△DAE≌△FCE,

ADCF,

ADBC,

BCCF,

又∵∠FCB180°∠ACB90°,

∠CBF∠CFB45°,

∠CBA45°

∠EBF∠CBF∠CBA90°,

AB∥CD,∠BEC90°

∠ECP180°∠BEC90°,

∠ECP∠BEC∠EBF90°

∴四邊形BECP為矩形,

BECP

∵AEBE,

AECP,

∵AECPAECP,

∴四邊形ACPE是平行四邊形.

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