Question

如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為F．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）已知M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若探究①中的M點(diǎn)位于第四象限，連接M點(diǎn)與拋物線(xiàn)頂點(diǎn)F，試判斷直線(xiàn)MF與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答圖所示，連接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC===4．
∴C（0，-4）．

（2）∵點(diǎn)A（-2，0），B（8，0）在拋物線(xiàn)上，
∴可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+2）（x-8）．
∵點(diǎn)C（0，-4）在拋物線(xiàn)上，
∴-4=a×2×-8，解得a=．
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=（x+2）（x-8）=x²-x-4=（x-3）²-
∴頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，-）．

（3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，
∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M須滿(mǎn)足條件：|y_M|=4．
（I）若y_M=4，則x²-x-4=4，
整理得：x²-6x-32=0，解得x=3+或x=3-．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3+，4）或（3-，4）；
（II）若y_M=-4，則x²-x-4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=6或x=0（與點(diǎn)C重合，故舍去）．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，-4）．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3+，4），（3-，4）或（6，-4）．
②直線(xiàn)MF與⊙E相切．理由如下：
由題意可知，M（6，-4）．
如解答圖所示，連接EM，MF，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥對(duì)稱(chēng)軸EF于點(diǎn)G，
則MG=3，EG=4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME===5，
∴點(diǎn)M在⊙E上．
由（2）知，F(xiàn)（3，-），∴EF=，
∴FG=EF-EG=．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF===．
在△EFM中，∵EM²+MF²=5²+（）²=（）²=EF²，
∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°．
∵點(diǎn)M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直線(xiàn)MF與⊙E相切．
分析：（1）由題意可直接得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，則得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式與待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式，由解析式得到頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M須滿(mǎn)足條件：|y_M|=4．因此解方程y_M=4和y_M=-4，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②如解答圖，作輔助線(xiàn)，可求得EM=5，因此點(diǎn)M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長(zhǎng)度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線(xiàn)MF與⊙E相切．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，主要考查了拋物線(xiàn)與圓的相關(guān)知識(shí)，涉及到的考點(diǎn)有二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、切線(xiàn)的判定、解一元二次方程等．第（3）①問(wèn)中，點(diǎn)M在x軸上方或下方均可能存在，注意不要漏解．