Question

【題目】已知，在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)．

（1）求直線OB的函數(shù)表達(dá)式和該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線OB于點(diǎn)E．若PE=3EF，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的上方，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，T是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)MN最大且△MDT周長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出T的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x+5；(2) P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4﹣; (3) T的坐標(biāo)為（1，3）．

【解析】

（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求直線OB解析式，利用頂點(diǎn)式可求得拋物線解析式；

（2）設(shè)P（x，x2-2x+5），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，由PE=3EF可得到方程解答即可；

（3）當(dāng)M與B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，MN最大，進(jìn)而得出T的坐標(biāo)．

（1）設(shè)直線OB解析式為y=kx，由題意可得3=2k，解得k=1.5，

∴直線OB解析式為y=1.5x，

∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，

∵拋物線經(jīng)過(guò)B（2，3），

∴3=a+4，解得a=1，

∴拋物線為y=x2﹣2x+5；

（2）設(shè)P（x，x2﹣2x+5），E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，1.5x），

∵PE=3EF，

∴x2﹣2x+5=4×1.5x，

解得：，（不合題意，舍去）

P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4﹣．

（3）當(dāng)M與B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，MN最大，此時(shí)B與N重合，

此時(shí)M的坐標(biāo)為（0，3），

當(dāng)MT垂直對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，△MDT周長(zhǎng)最小，

此時(shí)T的坐標(biāo)為（1，3）．