Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x，BF=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若m=8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？

 

Answer 1

（1），（2）當(dāng)=4時(shí)，的值最大，最大值是2，（3）6或2

解析:⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，

∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°.

又∵EF⊥DE ， ∴∠1+∠2=90°.∴∠2=∠BFE.∴Rt△BFE∽R(shí)t△CED.

∴，即.  ∴.

⑵當(dāng)=8時(shí)， ，化成頂點(diǎn)式: ，

∴當(dāng)=4時(shí)，的值最大，最大值是2.                          6分

⑶由，及得的方程: ，解得 .

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED，此時(shí)，Rt△BFE≌Rt△CED.

∴當(dāng)EC=2時(shí)，=CD=BE=6;

  當(dāng)EC=6時(shí)，=CD=BE=2.

即的值應(yīng)為6或2時(shí)， △DEF是等腰三角形.                             8分

⑴設(shè)法證明與這兩條線段所在的兩個(gè)三角形相似，由比例式建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;⑵將的值代入⑴中的函數(shù)關(guān)系式，配方化成項(xiàng)點(diǎn)式后求最值;⑶逆向思考，當(dāng)△DEF是等腰三角形，因?yàn)?i>DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，從而求出的值.