Question

【題目】問題背景

在數學活動課上，張老師要求同學們拿兩張大小不同的矩形紙片進行旋轉變換探究活動．如圖 1，在矩形紙片ABCD 和矩形紙片EFGH中，AB＝1，AD＝2，且FE＞AD，FG＞AB，點E 是 AD 的中點，矩形紙片 EFGH 以點E 為旋轉中心進行逆時針旋轉，在旋轉過程中會產生怎樣的數量關系，提出恰當的數學問題并加以解決．

解決問題

下面是三個學習小組提出的數學問題，請你解決這些問題．

（1）“奮進”小組提出的問題是：如圖 1，當 EF 與 AB 相交于點 M，EH 與 BC 相交于點 N 時，求證：EM=EN．

（2）“雄鷹”小組提出的問題是：在（1）的條件下，當 AM=CN 時，AM 與 BM 有怎樣的數量關系，請說明理由．

（3）“創(chuàng)新”小組提出的問題是：若矩形 EFGH 繼續(xù)以點 E 為旋轉中心進行逆時針旋轉，當 時，請你在圖 2 中畫出旋轉后的示意圖，并求出此時 EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AM=BN；（3）EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長度為 ．

【解析】試題分析：（1）過點 E 作 ，垂足為點P，根據已知條件證出PE=AE，再證得∠PEN=∠AEM，進而得到△PEN≌△AEM，即可證得結論；（2）易證PN=CN= PC，進而求出PN=CN=，再判斷出AM=PN=，即可得出BM=，從而證得結論；（3）在Rt△PEM中，求出PM的長，再用線段的和差即可得出結論．

試題解析：

（1） 如圖1，過點 E 作 ，垂足為點 P，

則四邊形 ABPE 是矩形，∴PE=AB=1， ，

∵ 點 E 是 AD 的中點，∴ ，∴PE=AE，

∵ ，∴ ，

∵PE=AE， ，∴，∴EM=EN．

（2） 由（1）知， ，∴AM=PN，

∵AM=CN，∴PN=CN=PC，

∵ 四邊形 EPCD 是矩形，∴PC=DE=1，PN=CN=，

∴AM=PN=，BM=AB-AM=，∴AM=BN．

（3）如圖2，當∠AEF=60°時，

設EF與BC交于M，EH與CD交于N，過點E作EP⊥BC于P，連接EC，

由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，

∴∠EMP=∠AEF=60°，

在Rt△PEM中，PM=，

∴BM=BP﹣PM=1﹣，CM=PC+PM=1+，

∴EF將邊BC分成的兩條線段的長度為1﹣，1+．