10.如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,D為圓上一點,連CD,且DC2=CB•CA
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)AE⊥CD交CD的延長線于點E,若tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,AE=6,求⊙O的直徑.

分析 (1)首先連接OD、DA、DB,由DC2=CB•CA,易證得△DCB∽△ACD,又由AB是⊙O的直徑,繼而可求得∠BDC+∠ODB=90°,則可證得結(jié)論;
(2)由tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,AE=6,可求得CE的長,繼而求得AC的長,然后由OD∥AE,可得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$,則可求得答案.

解答 證明:(1)連接OD、DA、DB,
∵DC2=CB•CA,
∴$\frac{DC}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$,
又∵∠DCB=∠ACD,
∴△DCB∽△ACD,
∴∠BDC=∠DAC,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠BDC+∠ODB=90°,
即OD⊥DC,
∴CD是⊙O的切線;

(2)在Rt△ACE中,tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{6}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,
∴CE=2$\sqrt{7}$,
在Rt△ACE中,AC=$\sqrt{{6}^{2}+(2\sqrt{7})^{2}}$=8,
∵OD∥AE,
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$,
∴$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{8}$,
解得:r=$\frac{24}{7}$,
∴⊙O的直徑為$\frac{48}{7}$.

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理以及三角函數(shù)等知識.注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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同理:∠BCD=2∠2.
∴∠ABC+∠BCD=2(∠1+∠2).等式的性質(zhì)
∵∠1+∠2=90°.已知
∴∠ABC+∠BCD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°.等量代換
∴AB∥CD.同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.

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