Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，交折線段BA-AD于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點(diǎn)N在射線BC上，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，將△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，連接PF．是否存在這樣的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關(guān)條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；
（2）運(yùn)用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當(dāng)0＜t≤3，當(dāng)3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時(shí)，運(yùn)用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-

1

2

t，分為三種情況：EF=EP時(shí)可以求出t值，當(dāng)FE=FP時(shí)，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當(dāng)PE=PF時(shí)，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．

解答：解：（1）如圖2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，
∴四邊形AGHD為矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=

1

2

（BC-AD）=3，AG=4，
∴當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，此時(shí)MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒時(shí)，正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，BP=t，
∵tan∠DBC=

1

2

，tan∠C=tan∠ABC=

4

3

，
∴GP=

1

2

t，PQ=

4

3

t，BN=t+

4

3

t=

7

3

t，
∴NR=

7

6

t，
∴S=

( 1 2 t+ 7 6 t) 4 3 t

2

=

10

9

t2；
如圖3，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=

1

2

t+2，
∴S=

( 1 2 t+ 1 2 t+2)×4

2

=2t+4；
如圖4，當(dāng)4＜t≤7時(shí)，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=

28-4t

3

，
∴S=

( 1 2 t+4)(8-t)

2

+

(4+ 28-4t 3 )(t-4)

2

=-

11

12

t2+

28

3

t-

22

3

；
如圖5，當(dāng)7＜t≤8時(shí)，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=

( 1 2 t+4)(8-t)

2

+

3×4

2

=-

1

4

t²+22；
∴S=

10 9 t2(0＜t≤3) 2t+4(3＜t≤4) - 11 12 t2+ 28 3 t- 22 3 (4＜t≤7)  - 1 4 t2+22(7＜t≤8)

；

（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=

3

5

，
由（1）可知EP=

1

2

BP=

1

2

t，
則EF=EQ=PQ-EP=4-

1

2

t，
①如圖6，當(dāng)EF=EP時(shí)，4-

1

2

t=

1

2

t，
∴t=4；
②如圖7，當(dāng)FE=FP時(shí)，作FR⊥EP，垂足為R，
∴ER=

1

2

EP=

3

5

EF，
∴

1

2

•

1

2

t=

3

5

(4-

1

2

t)，
∴t=

48

11

；
③如圖8，當(dāng)PE=PF時(shí)，作PS⊥EF，垂足為S，
∵ES=

1

2

EF=

3

5

PE，
∴

1

2

（4-

1

2

t）=

3

5

•

1

2

t，
∴t=

40

11

．
∴當(dāng)t=4、

48

11

或

40

11

時(shí)，△PEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道相似形綜合試題，考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的運(yùn)用，等腰直角梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答本題時(shí)求分段函數(shù)時(shí)靈活運(yùn)用梯形的面積是關(guān)鍵．在第三問(wèn)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解答是關(guān)鍵．