Question

（2010•湛江）如圖所示，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（-3，-4），線段OB繞原點逆時針旋轉后與x軸的正半軸重合，點B的對應點為點A．
（1）直接寫出點A的坐標，并求出經過A，O，B三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BC+OC的值最��？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如果點P是拋物線上的一個動點，且在x軸的上方，當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？求出此時點P的坐標和△PAB的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出OB的長，由旋轉的性質知OB=OA，即可得到A點的坐標，然后用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；
（2）由于O、A關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AB，則AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求得C點的坐標；
（3）可過P作y軸的平行線，交直線AB于M；可設出P點的橫坐標（根據P點的位置可確定其橫坐標的取值范圍），根據拋物線和直線AB的解析式，可表示出P、M的縱坐標，即可得到PM的長，以PM為底，A、B縱坐標差的絕對值為高即可得到△PAB的面積，從而得出關于△PAB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質及自變量的取值范圍，即可求得△PAB的最大面積及對應的P點坐標．
解答：解：（1）點A的坐標（5，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∴，
∴，，
∴；

（2）由于A、O關于拋物線的對稱軸對稱，連接AB，
則AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點；
易求得直線AB的解析式為：y=x-，
拋物線的對稱軸為=，
當x=時，y=×-=-；
∴點C的坐標為（，-）；

（3）過P作直線PM∥y軸，交AB于M，
設P（x，-x²+x），則M（x，x-），
∴PM=-x²+x-（x-）=-x²+x+，
∴△PAB的面積：S=S_△PAM+S_△PBM
=PM•（5-）+PM•（+3）
=×（-x²+x+）×（5+3）
=-x²+x+10
=-（x-1）²+，
所以當x=1，即P（1，）時，△PAB的面積最大，且最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、最短路徑問題、函數圖象交點以及圖形面積的求法等重要知識點，能夠將圖形面積問題轉換為二次函數的最值問題是解決（3）題的關鍵．