Question

如圖，正方形OABC的面積是9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B、點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上．過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且S_{四邊形AEPG}=

9

2

時(shí)，求PA所在的直線方程；
（3）求函數(shù)y=m+n的最小值；
（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，則a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形OABC的面積是9，可求B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），把B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=

k

x

中，可求k=9；
（2）設(shè)P（a，

9

a

），（a＞3），則PG=a-3，PE=

9

a

，由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=

9

2

，列方程求a，設(shè)直線PA解析式為y=kx+b，將P、A兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求直線PA的解析式；
（3）點(diǎn)P（m，n）在雙曲線y=

9

x

上，可知n=

9

m

，故y=m+n=m+

9

m

，再根據(jù)平均值定理求最小值．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積是9，
∴AB=BC=3，
即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
把B（3，3）代入函數(shù)y=

k

x

中，
得k=xy=9；

（2）設(shè)P（a，

9

a

），（a＞3），則PG=a-3，PE=

9

a

，
由S_{四邊形AEPG}=PG×PE=

9

2

，得（a-3）•

9

a

=

9

2

，
解得a=6，故P（6，

3

2

），
設(shè)直線PA解析式為y=kx+b，將P（6，

3

2

），A（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

6k+b= 3 2 3k+b=0

，
解得

k=  1 2 b=-  3 2

，
∴直線PA的解析式為y=

1

2

x-

3

2

；

（3）∵點(diǎn)P（m，n）在雙曲線y=

9

x

上，
∴n=

9

m

，
∴y=m+n=m+

9

m

≥2

m•  9 m

=6，
∴函數(shù)y=m+n的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的求法，注意通過解方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程組求直線的解析式．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．