Question

【題目】如圖，是半徑為的上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)回到地立即停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如果，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）如果點(diǎn)是延長線上的一點(diǎn)，，那么當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為時(shí)，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或（2）直線與相切，理由見解析

【解析】

（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進(jìn)行分析；
（2）直線BP與⊙O的位置關(guān)系是相切，根據(jù)已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．

解：（1）當(dāng)∠POA=90°時(shí)，根據(jù)弧長公式可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的或，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的時(shí)，2πt=2π12，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長的時(shí)，2πt=2π12，
解得t=9；
∴當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s．
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，直線BP與⊙O相切
理由如下：
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為4πcm，
連接OP，PA；
∵半徑AO=12cm，
∴⊙O的周長為24πcm，
∴的長為⊙O周長的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等邊三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直線BP與⊙O相切．