Question

已知拋物線的函數(shù)關系式為：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（a＜0），
（1）若點P（-1，8）在此拋物線上．
①求a的值；
②設拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，O為坐標原點，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）設此拋物線與x軸交于點C（x₁，0）、D（x₂，0），x₁，x₂滿足a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，且拋物線的對稱軸在直線x=2的右側，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①將P點坐標代入拋物線的解析式中即可求出a的值；
②根據(jù)拋物線的解析式可求出A、B的坐標，過A作AH⊥y軸于H，則∠ABO=∠ABH=α，在Rt△ABH中，根據(jù)A、B的坐標，可求出AH、BH的長，即可求出α的正切值；
（2）求a的取值范圍，可從兩方面考慮：
①由于C、D是拋物線與x軸的交點，根據(jù)韋達定理即可得到x₁+x₂及x₁x₂的表達式，然后代值求解，即可得到a的取值范圍；
②由于拋物線的對稱軸在直線x=2的右側，那么對稱軸x=-（a-1）＞2，由此可求出另一個a的取值范圍；
聯(lián)立上述兩種情況，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）①由題設：1-2（a-1）+a²-2a=8，
解得：a=-1或a=5（舍去）．
②y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴A（2，-1），B（0，3）．
過A作y軸的垂線，垂足為H，則∠ABO=∠ABH=α．
在Rt△AHB中，AH=2，BH=4，
∴AB=2

5

，sinα=

AH

AB

=

5

5

；

（2）由題設x₁，x₂是方程x²+2（a-1）x+a²-2a=0的兩根，
∴

x1+x2=2(1-a) x1x2=a2-2a

∵a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，
∴2a（1-a）+2（a²-2a）＜3，解得a＞-

3

2

；
又拋物線的對稱軸方程是x=1-a，
∴1-a＞2，
即a＜-1．
綜上所述：a的取值范圍是-

3

2

＜a＜-1．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、銳角三角形函數(shù)的定義、根與系數(shù)的關系等知識的綜合應用能力．