Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+3（2）9（3）（，）或（，）

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

試題解析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），

代入C（0，3）得3=4a，

解得a=，

y=（x﹣1）（x﹣4）=x2﹣x+3，

所以，拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．

（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖1，連接BC，

∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2，設(shè)M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y軸，

∴△MQB∽△COB，

∴,

即，解得b=，代入y=﹣x+3得， =﹣a+3，解得a=，

∴M（，）；

②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

設(shè)CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴，解得m=，

作MN∥OB，

∴，即

∴MN=，CN=，

∴ON=OC﹣CN=3﹣=，

∴M（，），

綜上，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．