Question

如圖，⊙P與y軸相切于坐標(biāo)原點O(0，0)，與x軸相交于點A(5，0)，過點A的直線AB與y軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．

(1)已知AC＝3，求點B的坐標(biāo)；

(2)若AC＝a，D是OB的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為O₁，函數(shù)的圖象經(jīng)過點O₁，求k的值(用含a的代數(shù)式表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB， 　　在Rt△AOC中，，1分 　　在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB 　　∴Rt△AOC∽Rt△ABO　　2分 　　∴，即　　3分 　　∴，∴　　4分 　　解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑，∴∠ACO＝90° 　　在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4　　1分 　　過C作CE⊥OA于點E，則：， 　　即：，∴　　2分 　　∴　∴　　3分 　　設(shè)經(jīng)過A、C兩點的直線解析式為：． 　　把點A(5，0)、代入上式得： 　　，解得：， 　　∴，∴點　　4分 　　(2)點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下： 　　連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點　∴， 　　∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， 　　∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等， 　　∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上　　6分 　　由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心是DP的中點，圓心， 　　由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中， 　　，OD＝， 　　∴，點在函數(shù)的圖象上， 　　∴　∴　　8分