Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，
（1）△ABC內(nèi)是否存在一點P使各邊的距離相等？如果存在，請作出這一點．并說明理由；
（2）求這個距離．

Answer 1

分析：（1）過點C作∠ACB的角平分線，再過點B作∠ABC的角平分線，二條角平分線交于一點，就是點P；
（2）過點P分別向△ABC的三邊做垂線段PE、PF、PD，連接AP，由于PE⊥AB，PF⊥BC，那么易知∠PFB=∠PEB=∠ACB=90°，可知四邊形PEBF是矩形，結(jié)合角平分線的性質(zhì)有PE=PF，可證四邊形PEBF是正方形，設(shè)PE=x，再用x的代數(shù)式表示CD，CF，從而可得關(guān)于x的方程，解即可．

解答：解：（1）過點C作∠ACB的角平分線，再過點B作∠ABC的角平分線，二條角平分線交于一點，此點就是點P；

（2）過點P分別向△ABC的三邊做垂線段PE、PF、PD，連接AP，
∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，
∴PD=PF，
又∵CP=CP，
∴Rt△CDP≌Rt△CFP，
∴CD=CF，
同理有AD=AE，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PFB=∠PEB=∠ABC=90°，
∴四邊形PEBF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四邊形PEBF是正方形，
設(shè)PE=x，
∵AE=AD=7-x，
∴CF=CD=25-（7-x）=18+x，
又∵CF=24-x，
∴18+x=24-x，
解得x=3，
故距離是3．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、矩形和正方形的判定和性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道AD=AE，CD=CF，并能證明四邊形PEBF是正方形．