Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：

 

個(gè)；
（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；
（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析：∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系根據(jù)這四個(gè)角分別是兩個(gè)三角形的內(nèi)角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以得到．根據(jù)以上的結(jié)論，以及角平分線的定義就可以求出∠P的度數(shù)．

解答：解：（1）結(jié)論：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）結(jié)論：六個(gè)；

（3）由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD=∠COB），
由∠1=∠2，∠3=∠4，
∴40°+2∠1=36°+2∠3
∴∠3-∠1=2°（1）
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②
∴∠P=∠B+∠4-∠2=36°+2°=38°；

（4）由①∠D+2∠1=∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B=2∠P+∠B．
∴∠P=

∠D+∠B

2

．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義就可以求出角的度數(shù)．