Question

【題目】如圖1，已知直線y=3x分別與雙曲線y=、y=（x＞0）交于P、Q兩點，且OP=2OQ．

（1）求k的值．

（2）如圖2，若點A是雙曲線y= 上的動點，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=（x＞0）于點B、C，連接BC．請你探索在點A運動過程中，△ABC的面積是否變化？若不變，請求出△ABC的面積；若改變，請說明理由；

（3）如圖3，若點D是直線y=3x上的一點，請你進一步探索在點A運動過程中，以點A、B、C、D為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時點A的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3；（2）在點A運動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．

（3）當點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形時，此時點A的坐標為（2，）或（2，6）或（，6）．

【解析】（1）先求出點P的坐標，再從條件OP=2OQ出發(fā)，構(gòu)造相似三角形，求出Q點坐標，就可以求出k的值.

（2）設(shè)點A點的坐標為（a,b），易得b=，結(jié)合條件可用a的代數(shù)式表示點B，點C的坐標，進而表示出線段AB，AC的長，就可算出△BAC的面積是一個定值.

（3）以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形可分成兩類：①AC為平行四邊形的一邊，②AC為平行四邊形的對角線；然后利用平行四邊形的性質(zhì)建立關(guān)于a的方程，即可求出a的值，從而求出點A的坐標.

（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3.

（2）如圖2，

∴S△ABC=ABAC=××.

∴在點A運動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．

（3）①AC為平行四邊形的一邊，

Ⅰ．當點B在點Q的右邊時，如圖3，

∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴AC∥BD，AC=BD．∴xD=xB=．

∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=．解得：a=±2．

經(jīng)檢驗：a=±2是該方程的解．∵a＞0，∴a=2．∴b=.

∴點A的坐標為（2，）．

Ⅱ．當點B在點Q的左邊且點C在點Q的右邊時，如圖4，

∵四邊形ACDB是平行四邊形，∴AC∥BD，AC=BD．

∴xD=xB=．∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=，解得：a=±2．

經(jīng)檢驗：a=±2是該方程的解．

∵a＞0，∴a=2．∴b==6．

∴點A的坐標為（2，6）．

②AC為平行四邊形的對角線，

此時點B、點C都在點Q的左邊，如圖5，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD．∴yD=yC=．∴xD=．

∴CD=﹣a．∵AB=a﹣，∴=﹣a．

解得：a=±．

經(jīng)檢驗：a=±是該方程的解．

∵a＞0，∴a=．∴b==6．

∴點A的坐標為（，6）．

綜上所述：當點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形時，此時點A的坐標為（2，）或（2，6）或（，6）．