Question

如圖（1），將一直角三角形的直角頂點(diǎn)M放在腰長為4的等腰直角三角形ABC斜邊的中點(diǎn)，另兩條直角邊分別與線段BC，AC交于D，E兩點(diǎn)，當(dāng)繞著直角頂點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，該直角三角形兩直角邊與△ABC兩直角邊的交點(diǎn)位置隨之發(fā)生變化．有兩位同學(xué)提出各自的判斷：甲，△MDE的形狀不會發(fā)生變化；乙，四邊形MECD的面積不會發(fā)生變化．你認(rèn)為這兩位同學(xué)的判斷是否正確？請?jiān)趫D（2）中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：連接CM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=CM，∠ACM=∠B=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BMD=∠CME，再利用“角邊角”證明△BMD和△CME全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DM=DE，從而得到△MDE是等腰直角三角形，再求出四邊形MECD的面積等于△BCM的面積．

解答：解：甲乙兩位同學(xué)的判斷都正確．
如圖，連接CM，∵M(jìn)是等腰直角△ABC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，∠ACM=∠B=45°，∠CMB=90°，
∵∠DME=90°，
∴∠BMD+∠CMD=90°，
∠CME+∠CMD=90°，
∴∠BMD=∠CME，
在△BMD和△CME中，

∠ACM=∠B BM=CM ∠BMD=∠CME

，
∴△BMD≌△CME（ASA），
∴MD=ME，
∴△MDE是等腰直角三角形，
因此，△MDE的形狀不會發(fā)生變化，故甲的說法正確；
S_{四邊形MECD}=S_△CME+S_△CME=S_△BMD+S_△CME=S_△CBM，不變，所以，乙的說法正確，
綜上所述，甲乙兩位同學(xué)的判斷都正確．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．