【題目】已知直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)M在直線AB上,且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長(zhǎng);
(3)拋物線y=﹣x2+bx+c在直線AB上平移,是否存在點(diǎn)M,使得△OMN與△AOB相似?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,
∴A( ,0),B(0,﹣5).
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),∴M( ,0),
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣ )2,即y=﹣x2+5x﹣
(2)
解:N在直線y=2x﹣5上,設(shè)N(a,2a﹣5),又N在拋物線上,
∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣ ,解得a1= ,a2= (舍去),
∴N( ,﹣4).
過(guò)點(diǎn)N作NC⊥x軸,垂足為C,如圖1
,
∵N( ,﹣4),
∴C( ,0),
∴NC=4.MC=OM﹣OC= ﹣ =2,
∴MN= = =2
(3)
解:設(shè)M(m,2m﹣5),N(n,2n﹣5).
∵A( ,0),B(0﹣,5),
∴OA= ,OB=5,則OB=2OA,AB= = ,
如圖2
,
當(dāng)∠MON=90°時(shí),∵AB≠M(fèi)N,且MN和AB邊上的高相等,因此△OMN與△AOB不能全等,
∴△OMN與△AOB不相似,不滿(mǎn)足題意;
當(dāng)∠OMN=90°時(shí), = ,即 = ,解得OM= ,
則m2+(2m﹣5)2=( )2,解得m=2,∴M(2,﹣1);
當(dāng)∠ONM=90°時(shí), = ,即 = ,解得ON= ,則n2+(2n﹣5)2=( )2,解得n=2,
∵OM2=ON2+MN2,即m2+(2m﹣5)2=5+(2 )2,解得m=4,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3),
綜上所述:M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(4,3)
【解析】(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得A,B的值,根據(jù)頂點(diǎn)式,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式,可得N點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)勾股定理,可得答案;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得關(guān)于m的方程,可得M點(diǎn)的坐標(biāo),要分類(lèi)討論,以防遺漏.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在線段AB上取一點(diǎn)C(非中點(diǎn)),分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交CD于F,連接BD交CE于G,AE和BD交于點(diǎn)H,則下列結(jié)論:①AE=DB;②不另外添加線,圖中全等三角形只有1對(duì);③若連接FG,則△CFG是等邊三角形;④若連接CH,則CH平分∠FHG.其中正確的是________(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商店出售同樣牌子和規(guī)格的羽毛球拍和羽毛球,每副球拍定價(jià)300元,每盒羽毛球定價(jià)40元,為慶祝五一節(jié),兩家商店開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)如下:
甲商店:所有商品9折優(yōu)惠;
乙商店:每買(mǎi)1副球拍贈(zèng)送1盒羽毛球。
某校羽毛球隊(duì)需要購(gòu)買(mǎi)副球拍和盒羽毛球.
(1)按上述的促銷(xiāo)方式,該校羽毛球隊(duì)在甲、乙兩家商店各應(yīng)花費(fèi)多少元?試用含、的代數(shù)式表示;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷分別到甲、乙兩家商店購(gòu)買(mǎi)球拍和羽毛球,哪家便宜?
(3)當(dāng)、滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),到甲、乙兩家商店購(gòu)買(mǎi)球拍和羽毛球的費(fèi)用相同?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】植樹(shù)節(jié)期間,某校倡議學(xué)生利用雙休日“植樹(shù)”勞動(dòng),為了解同學(xué)們勞動(dòng)情況.學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的勞動(dòng)時(shí)間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中信息回顧下列:
(1)通過(guò)計(jì)算,將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形圖形中“1.5小時(shí)”部分圓心角是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖1,點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上,現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn),同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn),如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(0秒≤t≤90秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù).
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí),求t的值.
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t,使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角(指大于0°而不超過(guò)180°的角)的平分線?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(1,m),過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BD,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)D(n,﹣2).
(1)k1和k2的值分別是多少?
(2)直線AB,BD分別交x軸于點(diǎn)C,E,若F是y軸上一點(diǎn),且滿(mǎn)足△BDF∽△ACE,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某汽車(chē)油箱的容積為70升,小王把油箱注滿(mǎn)油后準(zhǔn)備駕駛汽車(chē)從縣城到300千米外的省城接待客人,在接到客人后立即按原路返回,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)油箱注滿(mǎn)油后,汽車(chē)能夠行使的總路程y(單位:千米)與平均耗油量x(單位:升/千米)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
(2)如果小王以平均每千米耗油0.1升的速度駕駛汽車(chē)到達(dá)省城,在返程時(shí)由于下雨,小王降低了車(chē)速,此時(shí)每行駛1千米的耗油量增加了一倍,如果小王一直以此速度行駛,郵箱里的油是否夠回到縣城?如果不夠用,至少還需加多少油?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對(duì)角線AB上,以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD交于點(diǎn)E,且∠ACB=∠DCE,求證:CE是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BA邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AF.
(1)如果 = ,DE=6,求邊BC的長(zhǎng);
(2)如果∠FAE=∠B,F(xiàn)A=6,F(xiàn)E=4,求DF的長(zhǎng).
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