Question

【題目】如圖，正△ABC 中，高線 ，點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，沿著 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 停止，以 為邊向左下方作正 ，連接 ， .

（1）求證： ≌ ；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) 是等腰三角形時(shí)，求 的度數(shù)；
（3）直接寫出在點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)過程中， 的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ABC和PQC是正三角形，∴AC=BC，PC=QC，ACB=PCQ=60，

又∵ACP=60-BCP，BCP=60-BCP，∴ACP=BCP.

在ACP和BCQ中，

∵,

∴ACPBCQ（SAS）.

（2）

解：由（1）知，ACPBCQ，∴QBD=PAC=30，

當(dāng)ΔBDQ 是等腰三角形時(shí)，

①若BQ=QD，,如圖1，則BDQ=30；

圖1

②若BQ=BD，如圖2，則BDQ=75；

圖2

③若BD=DQ，如圖3，則BDQ=120.

圖3

答：BDQ的度數(shù)為30或75或120.

（3）

【解析】（3）解：如圖4，過點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M，

圖4
∵BAD=30，PM=AP，即：AP=2PM，
∴AP+2PC=2PM+2PC=2（PM+PC），
∴當(dāng)AP+2PC最小時(shí)，即2PM+2PC最小，即PM+PC最小. ∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P、C、M在同一直線上時(shí)，PM+PC最小.
過點(diǎn)C作CNAB于點(diǎn)N，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CN與AD的交點(diǎn)處時(shí)，PM+PC最小，最小值為等邊三角形ABC的高CN=6，
∴AP+2PC的最小值=26=12.
【考點(diǎn)精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．