Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0），經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D（-2，-3）.

（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；

（2）過(guò)x軸上點(diǎn)E（a，0）（E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）作直線EF∥BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）將A（-3,0）,D(-2，-3)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得，

，

        解得：，

∴y=x²+2x－3    ……………2分

       由x²+2x－3=0，

得： x₁=-3，x₂=1，

 ∴B的坐標(biāo)是（1,0），

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則

，

解得：

，

       ∴直線BD的解析式為y=x－1；  ……………………4分

       （2）∵直線BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,

∴直線EF的解析式為：y=x－a.     ……………………5分

若四邊形BDFE是平行四邊形，

則DF∥x軸,

∴D、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3. ……………6分

由，得

y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，

解得：y=.       ……………………7分

令=－3，

解得：a₁=1，a₂=3.                    ……………………9分

當(dāng)a=1時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0），這與B點(diǎn)重合，舍去；

∴當(dāng)a=3時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0），符合題意.

∴存在實(shí)數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形. ……………10分