Question

【題目】如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點P的坐標 ．

Answer 1

【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【解析】解：當M運動到（﹣1，1）時，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合條件的兩個P點；
又∵當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，
設點M（x，2x+3），則有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以點P坐標為（0，﹣3）．
如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M（x，2x+3），
則有﹣x=﹣ （2x+3），化簡得﹣2x=﹣2x﹣3，
這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；
又∵當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，這時點P的坐標為（0， ）．
綜上，符合條件的點P坐標是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
所以答案是：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．


【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質和一次函數(shù)的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．