Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4

3

，0），點(diǎn)B在第一象限，AC是∠OAB的平分線，并且與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)M為直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△AOM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與邊AB重合，得到△ABD．
（1）求直線OB的解析式；
（2）當(dāng)M與點(diǎn)E重合時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△OMD的面積等于3

3

？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤鰽OB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4

3

，0），所以O(shè)B=BA=OA=4

3

，∠BOA=60°，過(guò)B作x軸的垂線段，利用三角函數(shù)即可求出該垂線段的長(zhǎng)度，即B的縱坐標(biāo)，而B的橫坐標(biāo)為2

3

，從而即可求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式；
（2）當(dāng)M與點(diǎn)E重合時(shí)，因?yàn)锳C是∠OAB的平分線，所以∠MAO=∠MAB=30°，又因把△AOM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與邊AB重合，得到△ABD，所以旋轉(zhuǎn)角為60°，由此∠MAD=60°，∠OAD=90°，所以DA⊥x軸，DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30°，此時(shí)DA=AE=

OA

3 2

=8，即點(diǎn)D（4

3

，8）；
（3）可過(guò)M作MN⊥x軸，設(shè)MN=a，下面需分情況討論：
當(dāng)M在x軸上方時(shí)，由∠OAM=30°，可得MA=2a，NA=

3

a，所以S_△OMD=

1

2

（4

3

-

3

a）•a+

1

2

（a+2a）•

3

a-

1

2

•4

3

•2a，又因要使△OMD的面積等于3

3

，利用方程即可求出a的值；
當(dāng)M在x軸下方時(shí)，由∠NAM=30°可得MA=2a，NA=

3

a，所以S_△OMD=

1

2

•4

3

•2a+

1

2

（a+2a）•

3

a-

1

2

•（4

3

+

3

a）•a=3

3

，解之即可；

解答：解：（1）B（2

3

，6）；l_OB：y=

3

x；

（2）如圖1，由題意DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30度，
此時(shí)DA=AE=

OA

3 2

=8，即點(diǎn)D（4

3

，8）；

（3）過(guò)M作MN⊥x軸，設(shè)MN=a，
如圖2，當(dāng)M在x軸上方時(shí)，
由∠OAM=30°，
∴MA=2a，NA=

3

a，
S_△OMD=

1

2

（4

3

-

3

a）•a+

1

2

（a+2a）•

3

a-

1

2

•4

3

•2a=3

3

，
解得a=3，

如圖3，當(dāng)M在x軸下方時(shí)，由∠NAM=30°，
∴MA=2a，NA=

3

a，
S_△OMD=

1

2

•4

3

•2a+

1

2

（a+2a）•

3

a-

1

2

•（4

3

+

3

a）•a=3

3

，
解得a=1，
∴M₁（

3

，3），M₂（5

3

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，而解決這類問題常常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．