Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-

3

4

x-

3

2

沿x軸翻折后，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=

2

3

(x-h)2與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E、點(diǎn)F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF∥x軸，求拋物線的解析式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，過(guò)F作FH⊥x軸于點(diǎn)G，與直線l交于點(diǎn)H，在拋物線上是否存在P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方），PQ與AF交于點(diǎn)M，與FH交于點(diǎn)N，使得直線PQ既平分△AFH的周長(zhǎng)，又平分△AFH面積，如果存在，求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，先求出直線y=-

3

4

x-

3

2

與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)沿x軸翻折，得到A、B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出直線AB的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P（h，0），得出拋物線解析式為：y=

2

3

(x-h)2=

2

3

x2-

4

3

hx+

2

3

h2，根據(jù)DF∥x軸，得出F的坐標(biāo)，把F的坐標(biāo)代入直線AB的解析式即可求出h的值，即可得到答案；
（3）過(guò)M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽R(shí)t△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k，求出FN的值，根據(jù)三角形的面積公式求出△MNF和△AFH的面積，根據(jù)之間的等量關(guān)系即可求出k的值，設(shè)直線MN的解析式為：y=kx+b，
把M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4），代入得到方程組，求出方程組的解即可得到直線MN的解析式，解由方程y=-

4

3

x+4和y=

2

3

x²-4x+6的解即可得出P、Q的坐標(biāo)．

解答：（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
直線y=-

3

4

x-

3

2

與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（-2，0），（0，-

3

2

），
沿x軸翻折，
∵直線y=-

3

4

x-

3

2

，
直線AB與x軸交于同一點(diǎn)（-2，0）
∴A（-2，0）．與y軸的交點(diǎn)（0，-

3

2

）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱
∴B（0，

3

2

），
∴

-2k+b=0 b= 3 2 .

解得k=

3

4

，b=

3

2

，
∴直線AB的解析式為 y=

3

4

x+

3

2

．
答：直線AB的解析式為 y=

3

4

x+

3

2

．

（2）解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為Q（h，0），
拋物線解析式為：y=

2

3

(x-h)2=

2

3

x2-

4

3

hx+

2

3

h2，
∴D（0，

2

3

h2 ）．
∵DF∥x軸，
∴點(diǎn)F（2h，

2

3

h2 ），
又點(diǎn)F在直線AB上，∴

2

3

h2=

3

4

•(2h)+

3

2

，
解得 h₁=3，h2=

-3

4

（舍去），
∴拋物線的解析式為y=

2

3

(x-3)2=

2

3

x2-4x+6，
答：拋物線的解析式為y=

2

3

x²-4x+6．

（3）解：過(guò)M作MT⊥FH于T，
∴Rt△MTF∽R(shí)t△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k，
則FN=

1

2

(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF=

1

2

FN•MT=

(16-5k)4k

2

，
∵S△AFH=

1

2

FH•AG=

1

2

×12×8=48，
又∵S△MNF=

1

2

S△AFH．
∴

(16-5k)4k

2

=24，
解得k=

6

5

或k=2 （舍去），
∴FM=6，F(xiàn)T=

18

5

，MT=

24

5

，GN=4，TG=

12

5

，
∴M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4），
∴設(shè)直線MN的解析式為：y=kx+b，
把M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4），代入得：

12

5

=

6

5

k+b且-4=6k+b，
解得：k=-

4

3

，b=4，
∴y=-

4

3

x+4，
聯(lián)立y=-

4

3

x+4 與y=

2

3

x2-4x+6，
求得P（1，

8

3

），Q（3，0）．
答：存在P的坐標(biāo)是（1，

8

3

），Q的坐標(biāo)是（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組、解二元二次方程組，三角形相似的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．