Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-

3

，

9

2

），與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求c的值；
（2）如圖①，設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn)，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時(shí)直線AC的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P，Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P，Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（圖②供選用）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)c的值；
（2）若△ACD與△ABC的面積相等，則兩個(gè)三角形中，AC邊上的高相等，設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為E，若以CE為底，AC邊上的高為高，可證得△CED和△CEB的面積相等；這兩個(gè)三角形中，若以DE、BE為底，則兩個(gè)三角形同高，那么DE=BE，由此可證得AC平分BD；
由于E是BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)，即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、E的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=4

3

為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，此時(shí)由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP．

解答：解：（1）將點(diǎn)D代入二次函數(shù)y=

1

2

x²+c中，
則有

9

2

=

3

2

+c，
∴c=6；
（2）作CF⊥BD，AG⊥BD，

∵直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，
∴S_△ACD=S_△ACB，
∵S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE，S_△ACB=S_△BCF+S_△ABF，
∴S_△CDE+S_△ADE=S_△BCF+S_△ABF，
∴

1

2

DE•AG+

1

2

DE•CF=

1

2

BE•AG+

1

2

BE•CF，即

1

2

DE（AG+CF）=

1

2

BE（AG+CF），
∴BE=DE，即線段BD被直線AC平分，
∵二次函數(shù)解析式為y=

1

2

x²+6，A，C為拋物線與x軸交點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，0），
∵E是BD中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

9

4

）
∴直線AC經(jīng)過(guò)A，E兩點(diǎn)，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，則有

0=-2 3 k+b 9 4 = 3 2 k+b

，
解得：b=

9

5

，k=

3 3

10

，
∴直線AC解析式為y=

3 3

10

x+

9

5

；
（3）存在．

設(shè)拋物線頂點(diǎn)為N（0，6），
在Rt△AON中，易得AN=4

3

，
于是以A點(diǎn)為圓心，AB=4

3

為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，
再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，
此時(shí)由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性質(zhì)．