【題目】如圖①,二次函數(shù)y=ax2﹣a(b﹣1)x﹣ab(其中b<﹣1)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C(0,1),過(guò)點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)D(2,0),交拋物線于另一點(diǎn)E.
(1)用b的代數(shù)式表示a,則a=;
(2)過(guò)點(diǎn)A作直線CD的垂線AH,垂足為點(diǎn)H.若點(diǎn)H恰好在拋物線的對(duì)稱軸上,求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(3)如圖②,在(2)的條件下,點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),OP=m.在點(diǎn)P左側(cè)的x軸上取點(diǎn)F,使PF=1.過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸,交線段CE于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)線段PQ到點(diǎn)G,連接EG、DG.若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP,試判斷是否存在m的值,使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等?若存在求出m的值,若不存在則說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:∵二次函數(shù)y=ax2﹣a(b﹣1)x﹣ab(其中b<﹣1),C(0,1),
∴﹣ab=1,
∴a=﹣ ;
故答案為:﹣
(2)
解:作HM⊥AD于M,如圖1所示:
對(duì)稱軸x=﹣ =﹣ = ,
設(shè)直線CD解析式為:y=kx+n,
∵C(0,1),D(2,0),
∴ ,
解得: ,
∴直線CD解析式為:y=﹣ +1,
H在對(duì)稱軸上,將x= 代入y=﹣ +1,
y=﹣ +1= ,
∴H( , ),
由ax2﹣a(b﹣1)x﹣ab=0,則(ax+a)(x﹣b)=0,
∴x1=﹣1,x2=b,
∵b<﹣1,
∴A(b,0),
HM= ,
AM=xM﹣xA= ﹣b=﹣ ,
DM=xD﹣xM=2﹣ = ,
由射影定理得:HM2=AMDM,
即( )2=﹣ ,
解得:b=﹣3,
∵a=﹣ ,
∴a= ,
∴y= x2﹣ (﹣3﹣1)x+1= x2+ x+1
(3)
解:存在m的值,使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等;理由如下:
過(guò)點(diǎn)E作EN⊥GQ于點(diǎn)Q,如圖2所示:
∵y= x2+ x+1與y=﹣ +1相交于點(diǎn)E,
∴ ,
解得:x=﹣ ,或x=0(不合題意舍去),y= ,
∴E(﹣ , ),
∵PO=m,
∴xQ=﹣m,代入y=﹣ x+1得:yQ= m+1,
∵tan∠GDP= = = ,tan∠FQP= ,tan∠QDP= ,
∵tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP,
∴ ,
∴ ,
∵PD=m+2,PQ= m+1,PF=1,
∴ ,
解得:QG=2,
∵△FPQ的面積= PFPQ,△EGQ的面積= QGEN,△FPQ的面積和△EGQ的面積相等,EN= ﹣m,
∴ ×1×( m+1)= ×2×( ﹣m),
解得:m=4;
∴存在m的值,使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等,m=4.
【解析】(1)將C(0,1)代入二次函數(shù)y=ax2﹣a(b﹣1)x﹣ab(其中b<﹣1),得出﹣ab=1,即可得出結(jié)果;(2)作HM⊥AD于M,得出對(duì)稱軸x=﹣ =﹣ = ,由C、D的坐標(biāo)求出直線CD解析式為:y=﹣ +1,將x= 代入y=﹣ +1,得出H( , ),由ax2﹣a(b﹣1)x﹣ab=0,求出A(b,0),得出HM,AM,DM,由射影定理得:HM2=AMDM,解得b=﹣3,得出a= ,即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式;(3)過(guò)點(diǎn)E作EN⊥GQ于點(diǎn)Q,由y= x2+ x+1與y=﹣ +1相交于點(diǎn)E,求出E(﹣ , ),由PO=m,得出xQ=﹣m,yQ= m+1,由tan∠GDP= = ,tan∠FQP= ,tan∠QDP= img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/07/19/20/0a7c1aa9/SYS201707192050383582795064_DA/SYS201707192050383582795064_DA.023.png" width="19" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ,得出 ,求出QG=2,再由△FPQ的面積= PFPQ,△EGQ的面積= QGEN,由△FPQ的面積和△EGQ的面積相等,得出方程,解方程即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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【題目】教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序,開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,加熱到100℃,停止加熱,水溫開(kāi)始下降,此時(shí)水溫(℃)與開(kāi)機(jī)后用時(shí)(min)成反比例關(guān)系.直至水溫降至30℃,飲水機(jī)關(guān)機(jī).飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開(kāi)機(jī),重復(fù)上述自動(dòng)程序.若在水溫為30℃時(shí),接通電源后,水溫y(℃)和時(shí)間(min)的關(guān)系如圖,為了在上午第一節(jié)下課時(shí)(8:45)能喝到不超過(guò)50℃的水,則接通電源的時(shí)間可以是當(dāng)天上午的( )
A.7:20
B.7:30
C.7:45
D.7:50
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE為BC邊上的高,將△ABE沿AE所在直線翻折得△AB′E,AB′與CD邊交于點(diǎn)F,則B′F的長(zhǎng)度為( )
A.1
B.
C.2-
D.2 ﹣2
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上)的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,4)C(0,2)
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格所在的平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系,并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形△A1B1C1;
(3)求△ABC的面積;
(4)在x軸上存在一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】某劇院的觀眾席的座位為扇形,且按下列分式設(shè)置:
排數(shù)(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
座位數(shù)(y) | 50 | 53 | 56 | 59 | … |
(1)按照上表所示的規(guī)律,當(dāng)x每增加1時(shí),y如何變化?
(2)寫(xiě)出座位數(shù)y與排數(shù)x之間的關(guān)系式;
(3)按照上表所示的規(guī)律,某一排可能有90個(gè)座位嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
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【題目】高空拋物極其危險(xiǎn),是我們必須杜絕的行為.據(jù)研究,高空拋物下落的時(shí)間t(單位:s)和高度 h(單位:m)近似滿足公式 t=(不考慮風(fēng)速的影響)
(1)從 50m 高空拋物到落地所需時(shí)間 t1 是多少 s,從 100m 高空拋物到落地所 需時(shí)間 t2 是多少 s;
(2)t2 是 t1 的多少倍?
(3)經(jīng)過(guò) 1.5s,高空拋物下落的高度是多少?
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