【題目】如圖所示,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,點P為BC上一動點(不與端點重合),連接AP,將△ABP沿著AP折疊.點B落到M處,連接BM、CM,若△BMC為等腰三角形,則BP的長度為_____.
【答案】或或8
【解析】
分三種情況:①BM=CM時,如圖1所示:作MG⊥BC于G,則BG=CG=BC=4,∠BGM=90,設(shè)BP=x,由折疊的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到MG,由勾股定理得出方程,解方程即可;②BM=BC=8時,如圖2所示:根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BO=MO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)健康得到結(jié)論;③CM=BC時,連接OC,如圖3,由折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解:當(dāng)△BMC為等腰三角形時,分三種情況:
①BM=CM時,如圖1所示:
作MG⊥BC于G,則BG=CG=BC=4,∠BGM=90°,
設(shè)BP=x,
由折疊的性質(zhì)得:MP=BP=x,AP垂直平分BM,
∵∠ABC=90°,
∴∠MBG=∠BAP,
∴△BGM∽△ABP,
∴==,即=,
解得:MG=x,
在Rt△PMG中,GP=4﹣x,由勾股定理得:(4﹣x)2+(x)2=x2,
解得:x=,或x=10(不合題意舍去),
∴BE=;
②BM=BC=8時,如圖2所示:
由折疊的性質(zhì)得:BO=MO=BM=4,AP⊥BP,
∴∠AOB=∠ABP=90°,
∵∠BAO=∠BAP,
∴△ABP∽△AOB,
∴=,即=,
解得:BP=;
③CM=BC時,連接OC,如圖3所示:
由折疊的性質(zhì)得:AP垂直平分BM,
∵CM=BC,
∴OC⊥BM,
∴點P與C重合,
∴BP=BC=8;
綜上所述,當(dāng)△BMC為等腰三角形時,BP的長為或或8;
故答案為:或或8.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,是邊上一動點,以點為頂點,為一腰作等腰,使,且,設(shè),,我們稱為的“頂補三角形”.
(1)求與的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,為的“頂補三角形”,過點作的平行線,交于點,若四邊形是平行四邊形,求證:;
(3)如圖3,四邊形中,,,點在上,,B,,且,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ADC=60°,CD=4cm,P為CD的中點.
(1)在AC上找一點Q,使DQ+PQ的值最。ūA舢媹D痕跡,不寫畫法,不必說理);
(2)求出(1)中DQ+PQ的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進行一次乒乓球單打比賽,要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽.
(1)請用樹狀圖法或列表法,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.
(2)若已確定甲打第一場,再從其余三位同學(xué)中隨機選取一位,求恰好選中乙同學(xué)的概率.
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【題目】為了了解同學(xué)們對垃圾分類知識的了解程度,增強同學(xué)們的環(huán)保意識某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“垃圾分類知識及投放情況”問卷,并在本校隨機抽取若干名同學(xué)進行了問卷測試,根據(jù)測試成績分布情況,將測試成績分成A、B、C、D四組,繪制了如下統(tǒng)計圖表
問卷測試成績分組表
組別 | 分?jǐn)?shù)/分 |
A | 60<x≤70 |
B | 70<x≤80 |
C | 80<x≤90 |
D | 90<x≤100 |
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本總量是 ;
(2)樣本中,測試成績在B組的頻數(shù)是 ,D組的頻率是 ;
(3)樣本中,這次測試成績的中位數(shù)落在 組;
(4)如果該校共有880名學(xué)生,請估計成績在90<x≤100的學(xué)生約有 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0),B(l,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是拋物線上的動點,且滿足S△PAO=2S△PCO,求出P點的坐標(biāo);
(3)連接BC,點E是x軸一動點,點F是拋物線上一動點,若以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出點F的坐標(biāo).
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【題目】為應(yīng)對新型冠狀病毒,某藥店老板到廠家選購、兩種品牌的醫(yī)用外科口罩,品牌口罩每個進價比品牌口罩每個進價多0.7元,若用7200元購進品牌的數(shù)量是用5000元購進品牌數(shù)量的2倍.
(1)求、兩種品牌的口罩每個進價分別為多少元?
(2)若品牌口罩每個售價為2.1元,品牌口罩每個售價為3元,藥店老板決定一次性購進、兩種品牌口罩共8000個,在這批口罩全部出售后所獲利潤不低于3000元.則最少購進品牌口罩多少個?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市銷售一種商品,成本價為20元/千克,經(jīng)市場調(diào)查,每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元千克)之間的關(guān)系如圖所示,規(guī)定每千克售價不能低于30元,且不高于80元.
(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果該超市銷售這種商品每天獲得3900元的利潤,那么該商品的銷售單價為多少元?
(3)設(shè)每天的總利潤為w元,當(dāng)銷售單價定為多少元時,該超市每天的利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,若CD=5,以D為圓心,DC長為半徑作⊙D交CA的延長線于E,過D作DF⊥AC,垂足為F,且DF=3.
(1)求證:BC是⊙D的切線;
(2)求AE的長.
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