Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長，交BC于點D，則下列四個結論中：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3.正確的有（ ）

A.只有①②③B.只有①②④C.只有①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由基本作圖可知①正確；根據三角形內角和定理求出∠CAB的度數，再由AD是∠BAC的平分線得出∠1＝∠2＝30°，根據直角三角形的性質可判斷②正確；根據∠1＝∠B可得AD＝BD，進而判斷③正確；先根據直角三角形的性質得出AD＝2CD，求出BC＝3CD即可判斷④正確．

解：①由基本作圖可知AD是∠BAC的平分線，故①正確；
②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°∠2＝60°，即∠ADC＝60°，故②正確；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴點D在AB的中垂線上，故③正確；
④∵在Rt△ACD中，∠2＝30°，
∴AD＝2CD，

∵AD＝BD，

∴BD＝2CD，

∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④正確；
故選：D．