Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑．PC是⊙O的切線，C為切點，PD⊥AB于點D，交AC于點E．
（1）求證：∠PCE=∠PEC；
（2）若AB=10，ED= ， sinA= ， 求PC的長．

Answer 1

【答案】解：（1）∵PC是圓O的切線，
∴∠PCA=∠B．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠A+∠B=90°．
∵PD⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°．
∴∠AED=∠B．
∵∠PEC=∠AED，
∴∠PCE=∠PEC．
（2）如圖所示，過點P作PF⊥AC，垂足為F．

∵AB=10，sinA=，
∴BC=AB=6．
∴AC==8．
∵DE=，sinA=，
∴AE=．
∴EC=AC﹣AE=8﹣=．
∵PC=PE，PF⊥EC，
∴EF=．
∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，
∴△AED∽△PEF．
∴，．
解得：EP=．
∴PC=．
【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所對的圓周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，結合對頂角的性質可知∠PCE=∠PEC；
（2）過點P作PF⊥AC，垂足為F．由銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理可求得AC=8，AE= ， 由等腰三角形三線合一的性質可知EF= ， 然后證明△AED∽△PEF，由相似三角形的性質可求得PE的長，從而得到PC的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．