Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，連結(jié)CE，過點(diǎn)C作CF⊥CE交AB的延長線于點(diǎn)F，EF交BC于點(diǎn)G．

（1）求證：△CDE≌△CBF；
（2）當(dāng)DE= 時(shí)，求CG的長；
（3）連結(jié)AG，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEAG能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)DE的長；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，

∵CF⊥CE，

∴∠ECF=90°，

∴∠3+∠2=∠ECF=90°，

∴∠1=∠3，

在△CDE和△CBF中， ，

∴△CDE≌△CBF

（2）

解：在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴△GBF∽△EAF，

∴ ，

由（1）知，△CDE≌△CBF，

∴BF=DE= ，

∵正方形的邊長為1，

∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，

∴ ，

∴BG= ，

∴CG=BC﹣BG=

（3）

解：不能，

理由：若四邊形CEAG是平行四邊形，則必須滿足AE∥CG，AE=CG，

∴AD﹣AE=BC﹣CG，

∴DE=BG，

由（1）知，△CDE≌△ECF，

∴DE=BF，CE=CF，

∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，

∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，

∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，

此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，與題目條件不符，

∴點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEAG不能是平行四邊形．

【解析】（1）先判斷出∠CBF=90°，進(jìn)而判斷出∠1=∠3，即可得出結(jié)論；（2）先求出AF，AE，再判斷出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)是平行四邊形，先判斷出DE=BG，進(jìn)而判斷出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．