Question

綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式及B．D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A．P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)?jiān)谥本�AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3。
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A．B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）。
當(dāng)x=0時(shí)，y=3�！郈點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）。
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），則
，解得。
∴直線AC的解析式為y=3x+3。
∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。
（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q。如圖，

①當(dāng)點(diǎn)Q在Q₁位置時(shí)，Q₁的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q₂位置時(shí)，點(diǎn)Q₂的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線可得點(diǎn)Q₂坐標(biāo)為（1+，﹣3）；
③當(dāng)點(diǎn)Q在Q₃位置時(shí)，點(diǎn)Q₃的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）。
綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q₁（2，3），Q₂（1+，﹣3），Q₃（1﹣，﹣3）。
（3）點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求。
過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB�！�。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得�！郆B′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，∴。
∴�！郆′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）。
設(shè)直線B′D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0），則
，解得。
∴直線B'D的解析式為：。
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：
，解得。
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）。

解析