Question

（2010•常德）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）PQ的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，用m表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時(shí)，m的值，也就能求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意，得：，
解得；
∴y=x²+x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
則AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴；
∵AB=5，
∴BE=；
OE=BE-OB=，故E（，0）；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²+m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
設(shè)直線AC的解析式為：
y=kx-2，
則有：-4k-2=0，k=-；
∴直線AC的解析式為y=-x-2；
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-2）；
則PQ=-m-2-（m²+m-2）=-m²-2m；
∴當(dāng)m=-2，即P（-2，-3）時(shí)，PQ最大，且最大值為2．
故當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OA垂直平分線上時(shí)，PQ的值最大，此時(shí)P（-2，-3）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．