Question

【題目】如圖，己知AB是⊙O的直徑，AC是弦，點P是BA延長線上一點，連接PC，BC．∠PCA=∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PC=6，PA=4，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）5

【解析】

（1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性質及等式性質得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出結論；

（2）由∠P=∠P，∠PCA=∠B，得到△PCA∽△PBC，再由相似三角形的性質得出PC2=PAPB，求出PB，即可得出直徑AB的長．

（1）連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙的直徑，∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°．

∵OB=OC，∴∠2=∠B．

又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切線；

（2）∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，∴△PCA∽△PBC，∴PC：PB=PA：PC，∴PC2=PAPB，∴62=4×PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5．