Question

如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．
（1）證明：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）EF和BC滿足什么關(guān)系時，平行四邊形EGFH是正方形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中位線定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，從而可判斷出四邊形EGFH的形狀．
（2）連接EF，則根據(jù)等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷出EF與BC的關(guān)系．
解答：（本題滿分9分）
證明：（1）∵G、F分別是BE、BC的中點，
∴GF∥EC，
同理FH∥BE．
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）EF和BC滿足關(guān)系：且EF⊥BC時，平行四邊形EGFH是正方形，
證明：連接EF，GH．
∵G、H分別是BE，CE的中點，
∴GH∥BC．
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH．
∴四邊形EGFH是菱形，
∵EF=BC，GH=BC，
∴EF=GH．
∴平行四邊形EGFH是正方形．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)，考查的都是一些基本知識，解題的關(guān)鍵是熟記各種四邊形的性質(zhì)和判定．