Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長最小？若C點(diǎn)存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若C點(diǎn)不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（2，0），B（8，6）代入y= x2+bx+c，得

，

解得： ，

∴二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣4x+6

（2）解：由y= x2﹣4x+6= （x﹣4）2﹣2，得

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2）．

令y=0，得 x2﹣4x+6=0，

解得：x1=2，x2=6，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）

（3）解：二次函數(shù)的對稱軸上存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長最�。�

連接CA，如圖，

∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的對稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周長=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可得

當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時，CA+CB最小，

此時，由于BD是定值，因此△CBD的周長最�。�

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x﹣2．

當(dāng)x=4時，y=4﹣2=2，

∴當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）時，△CBD的周長最�。�

【解析】（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式；（2）只需運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，只需令y=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長最小，只需CD+CB最小，根據(jù)拋物線是軸對稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時，CA+CB最小，只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�