Question

（2009•河池）如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時，求PO的長；
（3）如圖2，一動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時針方向運(yùn)動，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，求動點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP與⊙O相切，OC是半徑．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如圖，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，動點(diǎn)M的位置有四種．
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁．
②過點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，
③過點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，
④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C時，M與C重合，
求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求得弧AM的長．
解答：解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等邊三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP與⊙O相切，OC是半徑．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=PO=4，
則PO=2CO=8；

（3）如圖，（每找出一點(diǎn)并求出弧長得1分）
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到M₁時，S_△MAO=S_△CAO，
此時點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

②過點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到M₂時，S_△MAO=S_△CAO，此時點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

③過點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到M₃時，S_△MAO=S_△CAO，此時點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C時，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為或．
點(diǎn)評：本題利用了等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，同底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)求解．